В чем разница между закрытым ключом и открытым ключом и как он используется?
криптография с открытым ключом Вы создаете пару ключей (открытый и закрытый), открытый ключ получателя используется для шифрования сообщений. Закрытый ключ получателя используется для расшифровки этого сообщения.
Обычно закрытый и открытый ключи - это термины, которые принадлежат ассиметричным алгоритмам шифрования. В этом особом случае я не вижу связи с CAPTCHA или PHP5.