Я делаю это все время с LWP, но я уверен, что это одинаково возможно с мехом
Я думаю, что, возможно, вы ошибаетесь, используя Mech для запроса страницы, на которой есть кнопка, когда вы действительно хотите запросить содержимое со страницы, которую кнопка вызывает для отправки в браузер при нажатии.
Что вам нужно сделать, это просмотреть исходный HTML-код страницы с помощью кнопки, которая инициирует загрузку, и посмотреть, что представляет собой действие, связанное с кнопкой. Скорее всего, это будет POST с некоторыми скрытыми полями или URL для выполнения GET.
Целевой URL клика содержит то, что вы действительно хотите получить, а не URL страницы с кнопкой на нем.