delete myJsonObj.employees[1];
Однако, это сохранит индекс всех других элементов. Если вы также хотите переупорядочить индекс, вы можете использовать это:
// store current employee #0
var tmp = myJsonObj.employees.shift();
// remove old employee #1
myJsonObj.employees.shift();
// re-add employee #0 to the start of the array
myJsonObj.employees.unshift(tmp);
Или вы просто используете раствор для сращивания Дарина Димитрова (см. Его ответ ниже).