Используйте веб-почтовик - установите скрипт на веб-сервере где-нибудь и отправьте ему запрос (возможно, с авторизацией), и он отправит электронное письмо с него. FF - это браузер - используйте эту функциональность и сделайте тяжёлый сценарий на стороне сервера.
Для серверной части я бы пошел с PhpMailer, но подойдет любой сценарий почтовой программы.
Управление необработанными сокетами из браузера звучит сложно (не говоря уже о зависимости от платформы); на большинстве систем вам нужны права root / Administrator для этого); Кроме того, многие интернет-провайдеры блокируют исходящий трафик SMTP (предотвращение ботнета): в этом случае трафик SMTP, идущий на сервер, отличный от хоста SMTP провайдера, будет сброшен. (например, «отбрасывать трафик через порт 25 на любой хост, кроме smtp.someisp.example»)
Как вы указали, пользователь настроил SMTP-сервер интернет-провайдера в своем почтовом клиенте, НО эти данные недоступны изнутри Firefox; и слежка в настройках других приложений будет помечать ваше расширение как «шпионское» (также, как вы узнаете, какой почтовый клиент правильный? м, используя другой).