Твиттер не имеет технологии push. Любые асинхронные уведомления выполняются сторонним приложением, которое асинхронно проверяет наличие новых твитов. Если вы пишете свое собственное приложение, то вы будете тем, кто справится с этим. Твиттер не выдвигает твиты. Вам придется постоянно идти за ними.