Является ли прозрачность границы, фон один за другим - единственный путь?
Без JavaScript: Да.
А как скрыть выпадающий значок SELECT?
Вы не сможете сделать это без некоторых очень шатких трюков (например, с помощью относительно позиционированного DIV рядом с SELECT, перекрытия кнопки, что никогда не бывает надежным, поскольку размер раскрывающейся кнопки может варьироваться.)