Если браузер предоставляет собственную JVM, то нет, JRE вам не нужно устанавливать. Но я считаю, что многие крупные браузеры не предоставляют свою собственную JVM; они будут использовать тот, который (или один) вы устанавливаете отдельно, и это, как правило, плагин Java, предоставляемый JRE. Так что для большинства браузеров, насколько я знаю, вам нужно установить JRE или какой-нибудь аналог. Internet Explorer - единственный крупный браузер, о котором я могу думать, у которого может быть своя собственная JVM.