Вы можете использовать статический метод WebClient.DownloadString(url)
для считывания вашего внешнего IP-адреса из любого веб-сервиса, предоставляющего такие данные:
string ip = System.Net.WebClient.DownloadString("http://whatismyip.org/");
Если вы собираетесь использовать это в производственной среде, лучше убедиться, что URL-адрес, на который вы указываете, гарантированно останется на протяжении всего срока службы вашего приложения. Вероятно, лучший способ - разместить веб-сервис самостоятельно.
Кроме того, вы должны добавить некоторые проверки ошибок вокруг этого кода, так как он потерпит неудачу, если интернет-соединение или веб-служба недоступны.