Хм ... я думаю, ваш код не завершен. Например, последняя опция получила оператор if, который ничего не делает ... и вам не следует помещать selected в две разные опции в одном и том же элементе select.
Первый вариант всегда выбран по умолчанию, если никто больше не используется, и .... для xhtml попробуйте использовать selected = "selected" вместо SELECTED
Также вы пытаетесь отобразить $ row ['fullname'], но ваш запрос извлекает столбец 'name'
<?php
$sql = "SELECT users.user_id, users.name FROM users";
$result = mysql_query($sql, $connection) or die ("Couldn't perform query $sql <br/>".mysql_error());
$row = mysql_fetch_array($result);
?>
<label>Designated Person:</label>
<select name="name" id="name">
<option value="<?php echo $row['user_id']?>"><?php echo $row['name'] ?> - Current</option>
<?php
while($row = mysql_fetch_array($result)){ ?>
<option
value="<?php echo $row['user_id'] ?>"
<?php echo (isset($_POST['name']) && $_POST['name'] == $row['user_id']) ? ' selected="selected"' : '');?>
><?php echo $row['name']?></option>
<?php } ?>