Чтобы использовать API базы данных, вам нужно настроить WebView для приема вызовов базы данных HTML5:
WebSettings settings = webView.getSettings();
settings.setJavaScriptEnabled(true);
settings.setJavaScriptCanOpenWindowsAutomatically(true);
...
settings.setDatabaseEnabled(true);
settings.setDatabasePath("/data/data/your.package.name/database_name");
Вы также можете переопределить метод onExceededDatabaseQuota вашего WebChromeClient, если вы хотите контролировать свою квоту хранилища:
public void onExceededDatabaseQuota(String url, String
databaseIdentifier, long currentQuota, long estimatedSize, long
totalUsedQuota, WebStorage.QuotaUpdater quotaUpdater) {
quotaUpdater.updateQuota(204801);
}