Измените контекст селектора, чтобы посмотреть ответ, добавив ,data
:
function deletePerson(personID){
if (confirm("Are you sure you want to permanently delete this person?\nYou cannot undo this action.")){
$.post("ajax/personsDelete.php", { personNo: personID },
function(data){
$('#person' + personID, data).remove();
alert("Response: " + data);
});
}
}
Поскольку он еще не добавлен в документ, используемый вами селектор по умолчанию не найдет его:
$('#person' + personID)
совпадает с $('#person' + personID, document)