Итак, решение, которое я придумал, довольно аккуратное и простое, и ни в коем случае не сложное.
NSDateFormatter *formatter = [[NSDateFormatter alloc] init];
[formatter setDateFormat:@"D"];
NSUInteger dayOfYear = [[formatter stringFromDate:[NSDate date]] intValue];
[formatter release];
return dayOfYear;
Уловка, которую я потратил так много времени, заключалась в использовании NSDateFormatter. «D» - флаг дня года.
Надеюсь, что это было полезно для вас, у которых та же проблема, что и у меня.