Во-первых, если вы клонируете элементы с идентификаторами, вы должны действительно удалить или изменить их.Во-вторых, это должно делать то, что вы хотите:
$("#details").clone().removeAttr("id")
.css({'margin-top':'50px', 'background':'red'})
.appendTo("#wrapper").children("#details-child")
.removeAttr("id").css({background: "red"});
Наконец, вообще говоря, я бы рекомендовал использовать классы, а не простой CSS, где это возможно.Кроме того, если вы используете класс, такой как «детали», он будет более точно соответствовать ситуации (поскольку у вас их несколько) и с ним будет проще работать.