Метод называется getElementsByName
(обратите внимание на отсутствующий s в вашем коде), и, как предполагает форма множественного числа, он возвращает массив со всеми соответствующими элементами. Если у вас есть только один элемент на имя, вы можете просто получить первый элемент из массива.
Теперь этот метод возвращает узел DOM. Если вы не знаете, что такое узел, просто подумайте о нем как о теге HTML. Вы не можете проверить тег, вам нужно извлечь его value
атрибут.
Эти изменения будут отражены следующим образом (без проверки ошибок):
var username = document.getElementByName('username')[0].value;
var password = document.getElementsByName('password')[0].value;
var email = document.getElementsByName('email')[0].value;
Предлагает вам найти консоль JavaScript вашего браузера, чтобы вы могли получать уведомления об ошибках синтаксиса или, что еще лучше, использовать Firefox + Firebug.