Вы можете создать снимок БД MySQL или таблицы / группы таблиц с помощью команды mysqldump .
Это даст вам текстовый файл. Вы захотите сжать файл, если ваша БД достаточно велика. В Linux я использую команду gzip.
Затем вы можете отправить этот файл по FTP на удаленный сервер. В зависимости от конфигурации вашей ОС и PHP, вы можете выполнить команду ОС со сценарием для выполнения FTP. На какой ОС это работает? Позволяет ли ваша конфигурация PHP выполнять команды ОС?
EDIT:
Поскольку вы не можете запускать команды уровня ОС, попробуйте выполнить SELECT * из таблицы в PHP, записать результаты в файл, а затем использовать встроенные PHP FTP команды для передачи этого файла на ваш удаленный сервер.