Кажется, что ваш хост не может видеть сервер WordPress, чтобы запрашивать его на предмет поиска и обновлений.Это может произойти из-за некоторой конфигурации вашего хоста или его сети, контролируемой вашей хостинговой компанией.
Подайте запрос в службу поддержки у вашей хостинговой компании, сообщив им, что у вашего хостинг-компьютера проблема с подключением к api.wordpress.org (который почти наверняка является сервером, к которому у вас возникают проблемы с подключением) и просит их разобраться в проблеме.
Возможно, вам больше повезет, задав вопрос по ServerFault;это на самом деле не вопрос программирования.