Вам разрешено указывать заголовок "accept", но только для запроса POST с одной или несколькими переменными.
Комментарии к документации упоминают это:
Для браузерных приложений Flash / AS3 единственный способ успешно установить
или измените заголовки запроса для объекта URLRequest, чтобы установить его метод
POST, а также отправить хотя бы одну переменную данных вместе с запросом
(то есть с URLVariables). В противном случае заголовки будут молча оставаться
без изменений.