Вы должны добавить обработчик событий к самой форме, который вызывает функцию, чтобы решить, что делать.
<form onsubmit="return someFunction();">
И затем убедитесь, что ваш someFunction () возвращает false в случае успеха. Если он вернет true, форма будет отправлена в обычном режиме (это то, что вы пытаетесь предотвратить!). Таким образом, вы можете сделать свой AJAX-вызов, посмотреть, успешно ли он выполнен, и вернуть false.
Делая это таким образом, вы можете предоставить запасной вариант в случае сбоя вызова AJAX и отправить форму в обычном порядке, возвращая true из вашей функции.