Некоторые сайты блокируют запросы, в заголовках которых нет определенных заголовков.
В частности, я нашел в прошлом заголовок «Пользователь-агент», попробуйте скопировать заголовок из запроса браузера и добавить его в свой WebClient
WebClient.Headers.Add("User-Agent", "Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0)");