Нет, он не будет автоматически обновляться. Причина в том, что вы присваиваете переменной n значение свойства length, которое является числом. Следовательно, n не знает о свойстве объекта, из которого оно получено, оно просто хранит число. Примитивные типы в JavaScript назначаются / передаются по значению, тогда как объекты передаются по ссылке. Вот почему выполнение var o = document.getElementById('A'); будет работать так, как вы описываете - то, что вы назначаете для o, является объектом, а не примитивным типом.
Примечание. Под «примитивным типом» я подразумеваю любое из следующего: Не определено, Нулевое, Булево, Число или Строка