«animate ()» имеет опцию «complete». Вы предоставляете функцию, которую хотите запустить после завершения анимации. Итак, для первой анимации (появиться) у вас есть полная функция, которая выполняет другую анимацию (слайд-вправо). Эта одушевленная имеет в качестве своей полной функции другую одушевленную (медленно исчезает).
Таким образом, каждый начинается, когда предыдущий завершается.
С уважением
Neil