Существуют ли какие-либо собственные базы данных XML (которые бесплатны и желательно с открытым исходным кодом), которые хорошо работают с .NET
Считается ли LINQ to XML?
Вы можете использовать eXist-db (http://exist.sourceforge.net/) и получить к нему доступ через интерфейс REST или SOAP. Собственные .NET-приложения, скорее всего, коммерческие.