Другие ответы верны - это две разные вещи. Я покажу, наоборот, они связаны. Я буду обозначать функции программирования ->, математические функции =>.
Предположим, у вас есть язык, который поддерживает исключения. В этом случае вы можете думать о функции программирования A -> B как о математической функции A => B + E, где "B + E" означает что-то типа B или что-то типа E. Ваш язык имеет два ключевых слова для возврата из функции, «return» и «throw».
Теперь вы можете составить две функции f: A -> B и g: B -> C, написав g(f(x)). Это функция, которая принимает A и возвращает C. Вы можете сделать это на многих языках, таких как Java или Python. Под капотом, если f(x) выдает исключение, g не вызывается и исключение распространяется, подумайте о g(1/0). Язык позаботится об этом, и вам не нужно проверять, является ли результат f исключением. Способ описать это математически, хотя f: A => B+E и g: B => C+E, язык "поднимает" функцию g в B+E => C+E. g теперь функция, которая может принимать исключение, но просто распространяет его.
Другими словами определить g': B+E => C+E по
/ g(x) if x ∈ B
g'(x)= |
\ x if x ∈ E
Имея две функции f: A => B+E и g': B+E => C+E, вы можете спокойно составлять их в математическом смысле. И это то, что делает g(f(x)) в программировании, но сначала нужно поднять g в g'.
Подумайте о недетерминизме. Если у вас есть функция A -> B, которая является недетерминированной, вы можете математически описать ее, сказав, что это функция A => Set(B), где Set(B) - набор возможных результатов. Например, если f(1) может дать вам 1, 2 или 3, то математически f(1) = {1,2,3}, хотя во время программирования при запросе f(1) вы получите только одно из этих чисел. Теперь вы можете составлять недетерминированные функции A->B и B->C, написав g(f(x)). Результат будет иметь тип C, но он будет недетерминированным. Математически, составление функций A => Set(B) и B => Set(C) дает вам A => Set(C). Хотя g принимает только одно значение B, вы должны поднять его до недетерминированных значений g': Set(B) => Set(C). Например, g'({1,2}) - это объединение множеств g(1) и g(2). Таким образом, g(f(x)) означает, что вы запускаете f, берете набор всех возможных результатов и запускаете g для каждого из них. Есть два слоя недетерминизма, но они «сплющены» в один.
То же самое с глобальным состоянием. Если вы сделаете каждую глобальную переменную в качестве аргумента функции и результата, вы можете подумать, что глобальных переменных не существует, каждая функция принимает все глобальное состояние, и язык должен передать это состояние при компоновке. Функция A -> B чтения и, возможно, записи состояния S является функцией (A,S) => (B,S), которая также может быть записана как A => (S => (B,S)). Написание этого формально сложнее, но это тот же шаблон.
То же самое можно сделать с помощью ввода / вывода, я описал это в другом SO ответе .
"Магия", которая позволяет создавать "эффективные" функции:
- Способ сделать тип эффективным. Например, включите
B в B+E или Set(B). Я обозначу эффективную версию типа X как F(X).
- Способ поднять функции:
B -> F(C) в F(B) -> F(C). Позволяет составлять функции A -> F(B) и B -> F(C).
- Ключевое слово
return должно превратить обычное значение A в A+E или singleton Set(A). Так что это тип должен быть X -> F(X).
Структура, состоящая из этих трех, называется монадой. Монады позволяют описать эти побочные эффекты. Монада также может иметь некоторые специфические функции, например, монада исключений имеет throw, монада недетерминизма имеет fork, монада состояний имеет get/put, монада ввода-вывода имеет read/write и т. Д.
Мораль такова: если вы рассматриваете специальные эффекты, такие как рандомизация, исключения, недетерминизм, ввод / вывод, как часть результата функции, то каждая функция прозрачна по ссылкам, а функции в императивном программировании - это действительно математические функции, но с очень странными типами результатов, которые также описывают спецэффекты.Это подход, используемый чистыми функциональными языками, такими как Haskell.