Проецирование точек из 4d-пространства в 3d-пространство в Mathematica - PullRequest
Новая
       10

Проецирование точек из 4d-пространства в 3d-пространство в Mathematica

4 голосов
/ 18 августа 2010

Предположим, у нас есть набор точек с ограничением, что для каждой точки все координаты неотрицательны, а сумма координат равна 1. Это ограничивает точки, чтобы они лежали в 3-мерном симплексе, поэтому имеет смысл попробуйте отобразить его обратно в трехмерное пространство для визуализации.

Карта, которую я ищу, будет иметь крайние точки (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) и (0,0,0 1) к вершинам «хорошо расположенного» правильного тетраэдра. В частности, центр тетраэдра будет в начале координат, одна вершина будет лежать на оси z, одна грань параллельна плоскости x, y, а одна грань параллельна оси x.

Вот код, который делает аналогичные вещи для точек в 3-х измерениях, но не кажется очевидным, как расширить его до 4. В основном я ищу 4-мерные эквиваленты функций tosimplex (который переводит 4 измерения в 3) и это обратно от простого 

A = Sqrt[2/3] {Cos[#], Sin[#], Sqrt[1/2]} & /@ 
    Table[Pi/2 + 2 Pi/3 + 2 k Pi/3, {k, 0, 2}] // Transpose;
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_}] := Most[A.{x, y, z}];
fromsimplex[{u_, v_}] := B.{u, v, Sqrt[1/3]};

(* checks *)
extreme = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
Graphics[Polygon[tosimplex /@ extreme]]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

Ответ:

Простая переформулировка ответа Дейнста в терминах матриц дает следующее. (1 / sqrt [4] является 4-й координатой, потому что это расстояние до симплекс-центра) 

A = Transpose[{{-(1/2), -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {1/2, -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, -(1/(2 Sqrt[3])) + Sqrt[3]/2, -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, 0, Sqrt[2/3] - 1/(2 Sqrt[6]), 1/Sqrt[4]}}];
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_, w_}] := Most[A.{x, y, z, w}];
fromsimplex[{t_, u_, v_}] := B.{t, u, v, 1/Sqrt[4]};

(* Checks *)
extreme = Table[Array[Boole[# == i] &, 4], {i, 1, 4}];
Graphics3D[Sphere[tosimplex[#], .1] & /@ extreme]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

Ответы [ 2 ]

7 голосов
/ 18 августа 2010

Вы хотите 

   (1,0,0,0) -> (0,0,0)
   (0,1,0,0) -> (1,0,0)
   (0,0,1,0) -> (1/2,sqrt(3)/2,0)
   (0,0,0,1) -> (1/2,sqrt(3)/6,sqrt(6)/3))

И это линейное преобразование, поэтому вы преобразуете 

   (x,y,z,w) - > (y + 1/2 * (z + w), sqrt(3) * (z / 2 + w / 6), sqrt(6) * w / 3)

Редактировать Вы хотите центр в начале координат - просто вычтите среднее из четырех точек. К сожалению 

(1/2, sqrt(3)/6, sqrt(6) / 12)
1 голос
/ 18 августа 2010

Одна возможность:

  1. Генерировать четыре (неортогональных) 3-вектора, \vec{v}_i от центра тетраэдра к каждой вершине.
  2. Для каждых четырех позиций x = (x_1 .. x_4) образуют векторную сумму \Sum_i x_i*\vec{v}_i.

Конечно, это отображение в общем не уникально, но вы требуете, чтобы сумма x_i в 1 ограничивала вещи.

...