Вы хотите использовать следующий метод, который возвращает объект, а не строку.
public static Object showInputDialog(Component parentComponent,
Object message,
String title,
int messageType,
Icon icon,
Object[] selectionValues,
Object initialSelectionValue)
throws HeadlessException
Так что ваш код может выглядеть как
Cat selectedCat = (Cat)JOptionPane.showInputDialog(appFrame, "title", JOptionPane.QUESTION_MESSAGE, null, allCatsArray, null);