sed 's/.*"\(.*\)".*/\1/g' < test > result
работает, по крайней мере, если у вас только один из таких элементов в строке ... (замените 'test' и 'result' именами входных и выходных файлов.
EDIT :
sed 's/^[^"]*$//g' < test | sed 's/.*"\(.*\)".*/\1/g' > result
Заменяет все строки без кавычек новыми строками ...