MouseDoubleClick объявлен в Control, поэтому вам просто необходим экземпляр некоторого Control в вашем ItemTemplate.Самое простое, что можно сделать, это использовать базовый класс Control, который не имеет никакого другого поведения, и просто дать ему настроенный шаблон с тем, что сейчас есть в вашем ItemTemplate.
<ItemsControl>
<ItemsControl.ItemTemplate>
<DataTemplate>
<Control MouseDoubleClick="Control_MouseDoubleClick">
<Control.Template>
<ControlTemplate>
<Border>
<!--Other ItemTemplate stuff-->
</Border>
</ControlTemplate>
</Control.Template>
</Control>
</DataTemplate>
</ItemsControl.ItemTemplate>
</ItemsControl>