Вам нужно использовать абсолютные URL , если вы хотите перейти на другой хост, поэтому просто добавьте http://
к строке.
Преобразовать строку в нижний регистр, чтобы выполнить только одно сравнение.
Я бы посоветовал вам использовать хеш, это очищает код на тонну и требует только одного if
условия:
function desiredPg() {
var pgDesired = prompt("What do you want?");
var sites = {'log in': 'http://google.com', 'register':'http://apple.com'};
if (typeof sites[pgDesired.toLowerCase()] !== 'undefined') {
window.location = sites[pgDesired.toLowerCase()];
} else {
alert("Please enter a valid page name.");
}
}