В каждом браузере, который я тестировал (Chrome, FF и IE), нет, даже если обернут в родительский элемент, который имеет свойство курсора. Вероятно, из соображений безопасности, для вытеснения махинаций с помощью пользовательских курсоров или пустых курсоров или чего-либо еще.
Вы можете поместить прозрачный DIV и присвоить этому свойство курсора, но тогда поле ввода больше не будет активным, конечно.