Вы ищете SET field1 = CONCAT(field1,'a')
Процедура, которую вы сказали, что у меня есть ошибка для работ:
mysql> create database test;
Query OK, 1 row affected (0.00 sec)
mysql> create table test.Files (Name text) select 'MyFile' Name;
Query OK, 1 row affected (0.10 sec)
Records: 1 Duplicates: 0 Warnings: 0
mysql> delimiter //
mysql> CREATE PROCEDURE test.Rename (CurrentName Text) BEGIN UPDATE test.Files SET Name = CONCAT(Name , 'a') WHERE Name = CurrentName; END//
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)
mysql> delimiter ;
mysql> call test.Rename('MyFile');
Query OK, 1 row affected (0.00 sec)
mysql> select * from test.Files;
+---------+
| Name |
+---------+
| MyFilea |
+---------+
1 row in set (0.00 sec)