В голове:
<script>
document.getElementById("mybutton").addEventListener("click", function() {
document.getElementById("myapplet").myJavaMethod(
document.getElementById("mytextarea").value);
}, false);
</script>
В теле:
<textarea id="mytextarea"></textarea>
<button id="mybutton">click me</button>
<applet id="myapplet" ...></applet>
myJavaMethod
- это название функции, которую вы хотите вызвать. Должен быть публичным и в классе апплетов.