нет, это предполагаемое поведение.
"" рассматривается как другой поддомен, чем "www" (или другие, если у вас больше поддоменов), поэтому он сохраняется в другом файле cookie (по умолчанию срок действия файлов cookie указан для домена).
, чтобы избежать этого, вы можете просто перенаправить пользователей, которые вводят от http://example.com/path/file1.php (или что-либо еще с «example.com») до http://www.example.com/path/file1.php (или что-нибудь еще с «www.example.com» «)