Вы можете включить Drag Drop для элемента управления WebBrowser через свойство «AllowWebBrowserDrop», т.е.
webBrowser1.AllowWebBrowserDrop = true;
Затем вы можете перехватить событие «Навигация», чтобы прочитать удаленный URL:
private void webBrowser1_Navigating(object sender, WebBrowserNavigatingEventArgs e)
{
MessageBox.Show(e.Url.ToString());
}