Почему вы хотите это сделать? Возможно, мы поможем вам придумать другой дизайн, который не требует этого, если вы сообщите нам, что вы пытаетесь сделать.
Тем не менее, чтобы ответить на ваш вопрос: невозможно отследить это событие во всех случаях. Вы не можете запретить пользователю закрывать браузер или гарантировать, что ваш код будет выполняться, когда он это сделает. Вы можете сделать это немного раздражающим для них, но они могут отключить JavaScript, или убить процесс, или перезагрузить компьютер. Использование функции unload наиболее близко к тому, что вы можете получить некоторый код, который запускается при закрытии окна (он будет работать в случае нормального завершения работы или когда пользователь уходит)