Статический конструктор вызывается при первом упоминании типа класса. Можно использовать, например, для заполнения статических словарей. Эти конструкторы нельзя вызывать явно.
С другой стороны, частные конструкторы могут вызываться только из самого класса. Это можно использовать для ограничения или мониторинга создания новых экземпляров этого класса, например, путем создания фабричных методов.
Что касается одноэлементного вопроса, Орен А об этом подытожил.