Два шага: пусть сервер сообщит, что C # готов, и веб-страница отреагирует на него
Вам как-то нужно раскрыть тот факт, что программа C # завершила работу в Интернете. Если у вас также работает IIS, это можно сделать с помощью URL-адреса, напрямую обслуживаемого IIS, который возвращает значение, указывающее, работает ли C # или нет. Если вы этого не сделаете, вы можете записать в файл, базу данных или что-то еще и иметь скрипт на вашем сервере Apache, который проверяет это значение. Что бы вы ни выбрали, вам нужно что-то вроде www.myserver.com/are_you_finished.[php, aspx, что угодно], которое возвращает 1 или 0
Затем вы можете создать скрипт JavaScript на своей клиентской странице, который периодически проверяет этот URL и реагирует, как только значение равно 1. Это будет типичный вызов AJAX, т.е. вам нужно поиграть с XmlHttpRequest. Это можно было бы уточнить гораздо дальше, но, может быть, вы сначала скажете, если вы это имеете в виду, и я также думаю, что здесь есть много хорошей документации о том, как это сделать.