Как я могу послеинициализировать поток строк внутри карты?
Вы не можете.Контейнеры STL требуют, чтобы их элементы данных были копируемыми, а потоки - не копируемыми.
Почему вы хотите иметь потоки на карте?Вы не можете хранить строки?
Если вы действительно в отчаянии, вам придется хранить указатели на (скорее всего, динамически распределяемые) строковые потоки:
std::map<std::string, std::shared_ptr<std::stringstream> > stream_map;
Это имеет то преимущество, что вы сохраните указатели на потокбазовый класс, вы могли бы позже также добавить другие потоки на карту.