Что-то вроде следующего должно помочь:
BufferedReader reader = new BufferedReader(new FileReader("logsheet.txt"));
String line;
while((line = reader.readLine()) != null) {
textArea.append(line).append("\n");
}
reader.close();
Здесь вы читаете все содержимое файла (поэтому не имеет значения, сколько в нем строк), добавляя содержимое впостроитель строк, а затем установка текстовой области для содержимого построителя строк.(Также важно не забывать закрывать свой читатель после того, как вы закончили с ним.)
Выше просто добавится к текстовой области.Если вы хотите сначала очистить его, добавьте textArea.setText("");
перед циклом while.
Если вы хотите убедиться, что читаются только первые 10 строк, добавьте счетчик, увеличивайте его на каждой итерации цикла whileи затем выйдите, если это 10 или выше (я оставлю это как упражнение по реализации, если вам это нужно!)