Один из моих умных коллег нашел ответ.
Проблема заключалась в том, что в Internet Explorer не было никакой связи от клика во Flash и загруженного файла, потому что Flash не был в прозрачном режиме, поэтому это не былоt подключен к IE со страницей.
Но мой Flash-ролик потерпел крах, когда я вручную добавил прозрачный режим.
Проблема была исправлена с помощью SWFObject с прозрачностью:
var so = new SWFObject("movie.swf", "mymovie", "400", "100%", "8", "#336699");
so.addParam("wmode", "transparent");