Это одна из причин, по которой я ненавижу типизированные наборы данных, и на самом деле это также один из недостатков LinqToSQL (но его легче обойти).
Я думаю, что вы застряли либо регенерируете все ваши типизированные наборы данных после изменения строки подключения, либо зайдете и "настроите" их для использования строки подключения из файла web.config во время выполнения, а не копируете ее из web.config во время разработки. Если вы «настраиваете», вам придется беспокоиться о том, чтобы потерять ваш настроенный код всякий раз, когда вы вносите какие-либо изменения, которые приводят к воссозданию набора типизированных данных. Таковы плюсы / минусы.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Я неправильно понял вопрос. Решение остается прежним, но только мое второе предложенное решение является жизнеспособным. Вам нужно будет настроить свой код TableAdapter, а затем соблюдать осторожность при его изменении при внесении изменений в набранные вами наборы данных.