Краткий ответ: Вы должны использовать OAuth.
Twitter больше не поддерживает Basic HTTP Auth, и теперь требует OAuth для всех приложений Twitter .Вам больше не нужно, чтобы ваше приложение использовало свое имя пользователя и пароль в твиттере.В этом смысл OAuth.
Это очень похоже на то, как работают авторизации приложений Facebook.Когда кто-то хочет использовать ваше приложение Facebook, он должен войти в Facebook и дать вашему приложению разрешение на использование вашей информации.
То же самое и с Twitter сейчас.Вам нужно будет получить ключ API Twitter для вашего приложения, затем, когда пользователи впервые захотят твитнуть, вы отправите OAuth-запрос с вашим ключом API в Twitter, в котором ваши пользователи сначала войдут в Twitter, а затем авторизуют ваше приложение.
После этого процесса ваше приложение сможет "публиковать" твиты пользователей в соответствующие учетные записи Twitter.