Метод Process.Start перегружен, чтобы запустить процесс, если у вас есть соответствующий пользователь, пароль и домен.
Что вы хотите сделать, это создать объект ProcessStartInfo и указать правильные имя пользователя и пароль при запуске процесса. Таким образом, вы можете сделать что-то вроде этого:
Dim psiNewProcess As New ProcessStartInfo("Notepad.exe")
psiNewProcess.UserName = "MyUserName"
psiNewProcess.Password = "MyPassword"
Process.Start(psiNewProcess)
О, процесс находится в пространстве имен System.Diagnostics, если он еще не импортирован для вашего проекта.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Быстрый sidenote, поле пароля на самом деле является объектом типа SecureString, поэтому MSDN предлагает заполнить значение следующим образом:
Dim instance As ProcessStartInfo
Dim value As SecureString
value = instance.Password
instance.Password = value