Из того, что я понимаю, когда вы говорите Application.Run (новый frmBackground (frmExit)), вы передаете не экземпляр frmExit, а тип (класс), и, как я понимаю, ваш метод ожидает экземпляр ... вы можете захотеть сделать что-то вроде:
frmExit exitForm = new frmExit();
Application.Run(new frmBackground(exitForm));
Или есть какой-то класс «bag», в котором вы сохраняете ссылку на некоторые ресурсы, которые вам могут понадобиться, например ссылку на эту форму (frmExit), и меняете конструктор frmBackground, а затем вы заменяете вызовы переменная параметра со значениями в вашем классе "bag" .. что-то подобное ..
Если это не то, чего вы пытаетесь достичь, я бы посоветовал вам дать более подробную информацию о вашем коде здесь