Что вам нужно сделать, это перехватить событие вставки, инициированное пользователем, и проанализировать данные для вставки.Если это простое значение, вы можете обновить ячейку DataGridView содержимым.Если он имеет HTML-контент, вам нужно соответствующим образом проанализировать его.
В этой статье есть хороший обзор того, как расширить некоторые из существующих методов, чтобы приспособиться к этому.