Дайте вашей функции имя, например, так:
function ClearCookie() {
$.cookie('tab_cookie', null);
}
Таким образом, вы сможете вызывать ее из нескольких событий по мере необходимости.
$('form#searchform-basic').submit(ClearCookie);
$('form#searchform-basic a.search').click(ClearCookie);
$('form#searchform-advanced').submit(ClearCookie);
$('form#searchform-advanced input#search-button-submit').click(ClearCookie);
Вуаля!
Чтобы сделать еще один шаг вперед, вы можете объединить селекторы, которые вызывают одно и то же событие (отправить или щелкнуть), например так:
$('form#searchform-basic, form#searchform-advanced').submit(ClearCookie);
$('form#searchform-basic a.search, form#searchform-advanced input#search-button-submit').click(ClearCookie);
Я бы, вероятно, оставил тег формы и просто использовал идентификаторы, но это только я.
$('#searchform-basic, #searchform-advanced').submit(ClearCookie);
$('#searchform-basic a.search, #searchform-advanced input#search-button-submit').click(ClearCookie);