Целочисленный кубический корень

Question

Я ищу быстрый код для 64-битных (без знака) корней куба. (Я использую C и компилирую с помощью gcc, но я думаю, что большая часть требуемой работы будет зависеть от языка и компилятора.) Я буду обозначать через ulong 64-битное целое число без ключа.

Учитывая вход n, я требую, чтобы (целое) возвращаемое значение r было таким, чтобы

r * r * r <= n && n < (r + 1) * (r + 1) * (r + 1)

То есть мне нужен кубический корень из n, округленный в меньшую сторону. Базовый код вроде

return (ulong)pow(n, 1.0/3);

неверно из-за округления до конца диапазона. Несложный код, такой как

ulong
cuberoot(ulong n)
{
    ulong ret = pow(n + 0.5, 1.0/3);
    if (n < 100000000000001ULL)
        return ret;
    if (n >= 18446724184312856125ULL)
        return 2642245ULL;
    if (ret * ret * ret > n) {
        ret--;
        while (ret * ret * ret > n)
            ret--;
        return ret;
    }
    while ((ret + 1) * (ret + 1) * (ret + 1) <= n)
        ret++;
    return ret;
}

дает правильный результат, но медленнее, чем нужно.

Этот код предназначен для математической библиотеки, и он будет вызываться много раз из различных функций. Скорость важна, но вы не можете рассчитывать на теплый кеш (так что предложения типа бинарного поиска с 2 642 245 записями верны).

Для сравнения приведем код, который правильно вычисляет целочисленный квадратный корень.

ulong squareroot(ulong a) {
    ulong x = (ulong)sqrt((double)a);
    if (x > 0xFFFFFFFF || x*x > a)
        x--;
    return x;
}

Answer 1

В книге «Восторг Хакера» есть алгоритмы для этой и многих других задач.Код онлайн здесь . РЕДАКТИРОВАТЬ : этот код не работает должным образом с 64-разрядными целочисленными значениями, и инструкции в книге о том, как исправить это для 64-разрядных, несколько запутаны.Правильная 64-битная реализация (включая тестовый пример) находится в режиме онлайн здесь .

Я сомневаюсь, что ваша функция squareroot работает "правильно" - для аргумента это должно быть ulong aне n :) (но тот же подход будет работать с использованием cbrt вместо sqrt, хотя не все математические библиотеки C имеют функции корневого куба).

Answer 2

Если pow слишком дорого, вы можете воспользоваться инструкцией счетчика ведущих нулей, чтобы получить приближение к результату, затем использовать таблицу поиска, а затем несколько шагов Ньютона, чтобы завершить ее.

int k = __builtin_clz(n); // counts # of leading zeros (often a single assembly insn)
int b = 64 - k;           // # of bits in n
int top8 = n >> (b - 8);  // top 8 bits of n (top bit is always 1)
int approx = table[b][top8 & 0x7f];

Учитывая b и top8, вы можете использовать таблицу поиска (в моем коде, 8K записей), чтобы найти хорошее приближение к cuberoot(n). Используйте некоторые шаги Ньютона (см. Ответ предстоящей бури), чтобы закончить его.

Answer 3

Вы можете попробовать шаг Ньютона, чтобы исправить ошибки округления:

ulong r = (ulong)pow(n, 1.0/3);
if(r==0) return r; /* avoid divide by 0 later on */
ulong r3 = r*r*r;
ulong slope = 3*r*r;

ulong r1 = r+1;
ulong r13 = r1*r1*r1;

/* making sure to handle unsigned arithmetic correctly */
if(n >= r13) r+= (n - r3)/slope;
if(n < r3)   r-= (r3 - n)/slope;

Одного шага Ньютона должно быть достаточно, но у вас могут быть отдельные ошибки (или, возможно, больше?). Вы можете проверить / исправить их, используя последний шаг проверки и увеличения, как в вашем OQ:

while(r*r*r > n) --r;
while((r+1)*(r+1)*(r+1) <= n) ++r;

или что-то подобное.

(Я признаю, я ленивый; правильный способ сделать это - тщательно проверить, чтобы определить, какие (если таковые имеются) вещи проверки и увеличения действительно необходимы ...)

Answer 4

Я адаптировал алгоритм, представленный в 1.5.2 (корень kth ) в Современная компьютерная арифметика (Брент и Циммерман) . Для случая (k == 3) и с учетом «относительно» точной завышенной оценки первоначального предположения - этот алгоритм, по-видимому, превосходит приведенный выше код «Восхищения Хакера».

Не только это, но MCA в виде текста обеспечивает теоретическое обоснование, а также подтверждение правильности и критериев завершения.

При условии, что мы можем предоставить «относительно» хорошую начальную переоценку , я не смог найти случай, который превышает (7) итераций. (Это эффективно связано с 64-битными значениями, имеющими 2 ^ 6 бит?) В любом случае, это улучшение (21) итераций в коде HacDel!

Первоначальная оценка, которую я использовал, основана на «округлении» количества значащих битов в значении ( x ). Учитывая ( b ) значащих бит в ( x ), мы можем сказать: 2^(b - 1) <= x < 2^b. Я утверждаю без доказательств (хотя это должно быть относительно легко продемонстрировать), что: 2^ceil(b / 3) > x^(1/3)

---

Вот мой код в том виде, в котором он сейчас ...

static inline uint32_t u64_cbrt (uint64_t x)
{
#if (0) /* an exact IEEE-754 evaluation: */

    if (x <= (UINT64_C(1) << (53)))
        return (uint32_t) cbrt((double) x);
#endif

    int bits_x = (64) - __builtin_clzll(x);

    if (bits_x == 0)
        return (0); /* cbrt(0) */

    int exp_r = (bits_x + 2) / 3;

    /* initial estimate: 2 ^ ceil(b / 3) */
    uint64_t est_r = UINT64_C(1) << exp_r, r;

    do /* quadratic convergence (?) */
    {
        r = est_r;
        est_r = (2 * r + x / (r * r)) / 3;
    }
    while (est_r < r);

    return ((uint32_t) r); /* floor(cbrt(x)) */
}

Вызов crbt, вероятно, не так уж и полезен - в отличие от вызова sqrt, который может быть реализован с максимальной эффективностью на современном оборудовании. Тем не менее, я видел выигрыш для наборов значений в 2^53 (точно представлен в двойных единицах IEEE-754), что меня удивило.

Единственным недостатком является деление на: (r * r) - это может быть медленно, так как задержка целочисленного деления продолжает отставать от других достижений в ALU. Деление на константу: (3) обрабатывается взаимными методами на любом современном оптимизирующем компиляторе.

Answer 5

// On my pc: Math.Sqrt 35 ns, cbrt64 <70ns, cbrt32 <25 ns, (cbrt12 < 10ns)

// cbrt64(ulong x) is a C# version of:
// http://www.hackersdelight.org/hdcodetxt/acbrt.c.txt     (acbrt1)

// cbrt32(uint x) is a C# version of:
// http://www.hackersdelight.org/hdcodetxt/icbrt.c.txt     (icbrt1)

// Union in C#:
// http://www.hanselman.com/blog/UnionsOrAnEquivalentInCSairamasTipOfTheDay.aspx

using System.Runtime.InteropServices;  
[StructLayout(LayoutKind.Explicit)]  
public struct fu_32   // float <==> uint
{
[FieldOffset(0)]
public float f;
[FieldOffset(0)]
public uint u;
}

private static uint cbrt64(ulong x)
{
    if (x >= 18446724184312856125) return 2642245;
    float fx = (float)x;
    fu_32 fu32 = new fu_32();
    fu32.f = fx;
    uint uy = fu32.u / 4;
    uy += uy / 4;
    uy += uy / 16;
    uy += uy / 256;
    uy += 0x2a5137a0;
    fu32.u = uy;
    float fy = fu32.f;
    fy = 0.33333333f * (fx / (fy * fy) + 2.0f * fy);
    int y0 = (int)                                      
        (0.33333333f * (fx / (fy * fy) + 2.0f * fy));    
    uint y1 = (uint)y0;                                 

    ulong y2, y3;
    if (y1 >= 2642245)
    {
        y1 = 2642245;
        y2 = 6981458640025;
        y3 = 18446724184312856125;
    }
    else
    {
        y2 = (ulong)y1 * y1;
        y3 = y2 * y1;
    }
    if (y3 > x)
    {
        y1 -= 1;
        y2 -= 2 * y1 + 1;
        y3 -= 3 * y2 + 3 * y1 + 1;
        while (y3 > x)
        {
            y1 -= 1;
            y2 -= 2 * y1 + 1;
            y3 -= 3 * y2 + 3 * y1 + 1;
        }
        return y1;
    }
    do
    {
        y3 += 3 * y2 + 3 * y1 + 1;
        y2 += 2 * y1 + 1;
        y1 += 1;
    }
    while (y3 <= x);
    return y1 - 1;
}

private static uint cbrt32(uint x)
{
    uint y = 0, z = 0, b = 0;
    int s = x < 1u << 24 ? x < 1u << 12 ? x < 1u << 06 ? x < 1u << 03 ? 00 : 03 :
                                                         x < 1u << 09 ? 06 : 09 :
                                          x < 1u << 18 ? x < 1u << 15 ? 12 : 15 :
                                                         x < 1u << 21 ? 18 : 21 :
                           x >= 1u << 30 ? 30 : x < 1u << 27 ? 24 : 27;
    do
    {
        y *= 2;
        z *= 4;
        b = 3 * y + 3 * z + 1 << s;
        if (x >= b)
        {
            x -= b;
            z += 2 * y + 1;
            y += 1;
        }
        s -= 3;
    }
    while (s >= 0);
    return y;
}

private static uint cbrt12(uint x) // x < ~255
{
    uint y = 0, a = 0, b = 1, c = 0;
    while (a < x)
    {
        y++;
        b += c;
        a += b;
        c += 6;
    }
    if (a != x) y--;
    return y;
} 

Answer 6

Я бы исследовал, как это сделать вручную , а затем перевел бы это в компьютерный алгоритм, работая в базе 2, а не в базе 10.

В итоге мы получили алгоритмlike (псевдокод):

Find the largest n such that (1 << 3n) < input.
result = 1 << n.
For i in (n-1)..0:
    if ((result | 1 << i)**3) < input:
        result |= 1 << i.

Мы можем оптимизировать вычисление (result | 1 << i)**3, наблюдая, что побитовое или эквивалентно сложению, рефакторинг к result**3 + 3 * i * result ** 2 + 3 * i ** 2 * result + i ** 3, кэширование значений result**3 и result**2 между итерациями и с использованием сдвигов вместо умножения.