Как мне сделать что-то вроде XElement xml = empty;
Используйте метод RemoveAll, чтобы удалить все дочерние элементы:
xml.RemoveAll();
Это оставит вас с вашим существующим XElement как есть, но если вы захотите очистить его, просто создайте новый XElement полностью.
xml = new XElement("name");