Для этого нет явного свойства, поскольку база данных является независимым от технологии базы данных классом, а понятие «имя базы данных» является специфическим для БД. Черт, такие вещи, как Sqlite или SqlCE даже не имеют «имен баз данных», только имена файлов.
Вы можете использовать "_db.ConnectionString", чтобы вернуть строку подключения, а затем проанализировать ее, если вы знаете тип базы данных. Каждый провайдер ADO.NET включает в себя класс компоновщика строки соединения, чтобы выполнить этот анализ за вас.
Например, если у вас есть строка подключения MS Sql, вы можете получить имя базы данных следующим образом:
var connectionStringBuilder = new SqlConnectionStringBuilder(_db.ConnectionString);
string databaseName = connectionStringBuilder.InitialCatalog;
Разные поставщики баз данных будут, конечно, использовать разные свойства и терминологию для предоставления вам этой информации.