Если у вас есть доступ к серверу вашего хост-провайдера, я предлагаю настроить перехват после получения.
Я предполагаю, что у вашего сервера есть разрешение на отправку в репозиторий github, в противном случае следуйте официальной документации GitHub сначала.
На вашем сервере создайте <path-to-repo>/hooks/post-receive
, содержащий:
#!/bin/sh
echo "Pushing $3 $1 to github."
git push github $3
Дайте ему разрешение на выполнение:
chmod +x <path-to-repo>/hooks/post-receive
Добавить github
в качестве удаленного хранилища:
cd <path-to-repo>
git add remote github git@github.com:<username>/<repo-name>.git
Тогда каждое нажатие на ваш сервер приведет к отправке в сконфигурированный репозиторий github.