Поскольку могут быть развернуты несколько различных сервлетов, и каждый из них может пытаться перенаправить стандартный вывод, это просто не то, что tomcat может позволить вам сделать (не говоря уже о том, что он уже перенаправляет потоки для регистрации в catalina.out).
Так что либо просто отфильтруйте то, что вам нужно, из лог-файла Tomcat, либо назначьте эти потоки некоторым статическим переменным, к которым вы можете получить доступ из сервлета.Вам нужна некоторая синхронизация, хотя я думаю, что классы ввода / вывода могут быть потокобезопасными.Использование каркаса ведения журналов облегчит вам жизнь, в зависимости от масштаба проекта (что-нибудь большее, чем сервлет с двумя методами).